2025 阶群的单性和可解性
在准备
级强基抽象代数期末考试前, 按照对张强老师往年题的观察应该会考察 阶群是否可解, 是否为单群.
由于证明过程过为复杂, 故写下本部分作为记录.
注: 张老师觉得 太难了就没考, 亏！
设群 , .
我们先来证明 阶群不是单群.
证明:
利用 第三定理,
我们设 表示 子群的个数, 表示 子群的个数.
那么就有
从而 .
第一种情况
那么 子群是正规子群, 从而
不是单群.
第二种情况
如果这 个 子群两两的交均为 , 那么考虑 中 阶和 阶元的个数就是 .
剩下的元素个数就是 个, 又根据
第一定理, 一定存在
子群, 并且 阶元和 阶元显然不是 子群的元素, 所以 子群的元素只能在剩下的
个元素中. 而 子群的阶又是 , 所以这 个元素恰好构成唯一的一个 子群. 从而 子群是正规子群, 不是单群.
如果存在两个 子群的交不只是 ,
记作 , 由于子群的交仍是子群,
所以 , .
设 的所有子群所成的集合为
. 考虑 在 上的共轭作用. 从而有正规化子 .
由于 阶群是 阶群, 从而 都是 群, 所以 中元素都和 可交换, 即 .
所以有
即 .
接下来有两种不同的证明方式, 一种是估计 的阶从而寻找矛盾, 另一种是再次使用
第三定理确定 的阶.
法一:
我们先来证明一个引理.
引理: 如果
是单群, 那么 不存在指数小于等于
的子群.
证明: 设 是
的非平凡子群, 且 , 其中 .
考虑 在 上的作用, 由于
就引起了 到 的一个同态 , 显然有 , 有 是单群, , 所以 .
从而 , 即 . 综上,
不存在指数小于等于 的子群.
我们记 ,
那么有
由于 . 所以 是 上两个不同的 子群. 根据 第三定理, 中 子群至少有 个.
考虑群 在
的所有子群的集合上的共轭作用, 有轨道 , 正规化子
.
从而根据轨道-稳定子定理, .
即 .
从而 .
又 , 可得 .
当 时, 即 , 从而 是 的正规子群, 不是单群.
当 时,
根据引理, 如果
是单群将不存在这样的子群
矛盾, 所以 不是单群.
法二:
我们考虑 中的元素, 有 . 所以有
.
我们对 使用 第三定理, 考察其 子群可以发现在之前的限制下, 必须得有 个 子群, 因为 已经是两个不同的 子群, 从而 .
此处我们可以对
的所有可能的阶数进行讨论, 当 时, 我们在 上用 第三定理研究 子群的数量, 而此时的 分别要整除 , 而在模 和 同余的限制下, 发现此时有 . 但是根据之前的讨论 已经是 的两个不同的 子群 所以有 那么就产生矛盾, 从而 .
而当 时. 又 所以 , 即 . 有 阶的正规子群, 不是单群.
至此我们就说明了
阶群不是单群.
注: 其实, 如果定义集合的中心化子 .
可以发现在上述证明过程中 和
是等价的,
但要注意根据这二者的定义不难发现 ,
只是在本题证明过程中看上去是等价的.
接下来我们来说明 是可解群.
如果在证明单群时采用了法一的证法, 我们就并没有在之前的过程中得到
的任一明确的正规子群,
只是知道肯定有非平凡的正规子群.
下面我们先对法一的证法进行可解的证明.
基于法一:
同样的, 我们先来看证明一个引理.
引理: 设群
的阶为 的不等于 的真因子, 则 可解.
证明:
或 .
此时
是 -群, 故 可解.
.
根据 第三定理, 且 , 从而 .
子群是 的正规子群, 记 子群为 . 那么 均是 -群可解, 进而 可解.
.
根据 第三定理, 且 , 从而 .
子群是 的正规子群, 记 子群为 . 那么 均是 -群可解, 进而 可解.
有了上述引理, 和之前的证明, 很容易就得到下述证明过程.
证明: 由于
阶群不是单群, 故存在非平凡正规子群 , 那么考虑 和 其阶均满足引理的条件, 从而由引理可知
和 均可解, 故 阶群可解.
基于法二:
证明: 在之前的证明过程中, 我们已经知道 要么有一个正规的 子群, 要么有一个正规的
子群, 或者一个 阶的正规子群. 由于 商去两个 中的一个正规子群后是 -群可解, 这个正规子群自身也是 -群可解, 从而 可解. 而如果有 阶的正规子群, 那么去研究 阶群也容易得到其是可解群. 所以 可解.
至此, 我们就证明了
阶群不是单群, 并且是可解群.